Déterminer les limites suivantes :

1. $$lim_{nto+infty}bigl(n^{2}-5n+1bigr)$$
2. $$lim_{nto+infty}bigl(n-3sqrt{n}bigr)$$
3. $$lim_{nto+infty}dfrac{5n^{2}+4}{4n^{2}+3n}$$
4. $$lim_{nto+infty}left(1+left(-dfrac12right)^{n}right)$$
5. $$lim_{nto+infty}dfrac{5+6left(dfrac23right)^{n}}{1-left(dfrac23right)^{n}}$$
6. $$lim_{nto+infty}bigl(2^{n}-3^{n}bigr)$$

Soit la suite $(u_n)$ telle que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$u_{n+1}=2u_n+3quadtext{et}quad u_0=0.$$

1. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_ngeq n$.
2. En déduire la limite de la suite $(u_n)$.

Soit la suite $(u_n)$ définie, pour tout $ninmathbb{N}$, par $$u_{n+1}=dfrac{1}{3}u_n+2quadtext{et}quad u_0=2.$$

1. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_nleq 3$.
2. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et en déduire qu’elle est convergente.
3. En déduire que, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_ngeq 2$.
4. Pour tout $ninmathbb{N}$, on pose $v_n=u_n-3$.
   1. Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
   2. Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
   3. Calculer $u_n$ en fonction de $n$, puis préciser la limite de $(u_n)$.
5. Pour tout $ninmathbb{N}$, on pose $$S_n=v_0+v_1+cdots+v_{n-1}+v_n.$$ Calculer $S_n$ en fonction de $n$, puis préciser la limite de $(S_n)$.
6. Pour tout $ninmathbb{N}$, on pose $$T_n=u_0+u_1+cdots+u_{n-1}+u_n.$$ Calculer $T_n$ en fonction de $n$, puis préciser la limite de $(T_n)$.

Soit $(U_n)$ une suite telle que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$U_{n+1}=dfrac{3U_n}{21+U_n}quadtext{et}quad U_0=1.$$

1. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $U_n>0$.
2. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$U_{n+1}leqdfrac{1}{7}U_n.$$
3. En déduire la monotonie de $(U_n)$.
4. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$0<U_nleqleft(dfrac{1}{7}right)^n,$$ puis calculer la limite de $(U_n)$.
5. On pose, pour tout $ninmathbb{N}$, $$V_n=sqrt{9-2U_n}.$$ Calculer la limite de la suite $(V_n)$.

$(u_n)$ est une suite telle que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$u_{n+1}=1-dfrac{9}{u_n+5}quadtext{et}quad u_0=1.$$

1. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_n>-2$.
2. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et en déduire qu’elle est convergente.
3. Pour tout $ninmathbb{N}$, on pose $$v_n=dfrac{1}{u_n+2}.$$
   1. Montrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$, et déterminer $displaystylelim_{nto+infty}u_n$.

$(u_n)$ est la suite définie par $$u_0=3quadtext{et}quadforall ninmathbb{N}: u_{n+1}=dfrac{8(u_n-1)}{u_n+2}.$$

1. Montrer par récurrence que, pour tout $ninmathbb{N}$, $2<u_n<4$.
2. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et en déduire qu’elle est convergente.
3. Pour tout $ninmathbb{N}$, on pose $$v_n=dfrac{u_n-4}{u_n-2}.$$
   1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
   2. Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer $displaystylelim_{nto+infty}u_n$.

4. a) Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$4-u_{n+1}leqdfrac{4}{5}bigl(4-u_nbigr).$$

   b) En déduire que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$4-u_nleqleft(dfrac{4}{5}right)^n.$$

   c) Déduire une autre fois $displaystylelim_{nto+infty}u_n$.

On considère la fonction $f$ définie sur $mathbb{R}^{+}$ par $$f(x)=dfrac{x}{sqrt{1+x^{2}}}.$$

1. a) Montrer que, pour tout $xinmathbb{R}^{+}$, $f(x)leq x$.
   b) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $mathbb{R}^{+}$.
2. Soit la suite $(u_n)$ définie par $$u_0=dfrac12quadtext{et}quad u_{n+1}=f(u_n).$$
   1. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $0<u_n<1$.
   2. Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
   3. En déduire que $(u_n)$ est convergente, puis déterminer sa limite.

$(u_n)$ est la suite telle que, pour tout $ninmathbb{N}$, $$u_{n+1}=sqrt{2u_n+3}quadtext{et}quad u_0=1.$$

1. Montrer que, pour tout $ninmathbb{N}$, $1leq u_nleq 3$.
2. Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
3. En déduire que $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.

1. On étudie $$lim_{nto+infty}bigl(n^{2}-5n+1bigr).$$

   On a $$n^{2}-5n+1 = n^{2}left(1-dfrac{5}{n}+dfrac{1}{n^{2}}right).$$

   Or $displaystylelim_{nto+infty}n^{2}=+infty$, $displaystylelim_{nto+infty}dfrac{5}{n}=0$ et $displaystylelim_{nto+infty}dfrac{1}{n^{2}}=0$, donc $$lim_{nto+infty}left(1-dfrac{5}{n}+dfrac{1}{n^{2}}right)=1.$$ Le produit d’une suite tendant vers $+infty$ par une suite convergente non nulle tend vers $+infty$, d’où $$lim_{nto+infty}bigl(n^{2}-5n+1bigr)=+infty.$$

2. On étudie $$lim_{nto+infty}bigl(n-3sqrt{n}bigr).$$

   On factorise par $n$ : $$n-3sqrt{n}=nleft(1-dfrac{3sqrt{n}}{n}right)=nleft(1-dfrac{3}{sqrt{n}}right).$$

   Comme $displaystylelim_{nto+infty}dfrac{3}{sqrt{n}}=0$, on a $$lim_{nto+infty}left(1-dfrac{3}{sqrt{n}}right)=1.$$ Donc $$lim_{nto+infty}bigl(n-3sqrt{n}bigr)=+infty.$$

3. On étudie $$lim_{nto+infty}dfrac{5n^{2}+4}{4n^{2}+3n}.$$

   C’est une forme indéterminée du type $dfrac{infty}{infty}$. On factorise numérateur et dénominateur par $n^{2}$ : $$dfrac{5n^{2}+4}{4n^{2}+3n}=dfrac{5+dfrac{4}{n^{2}}}{4+dfrac{3}{n}}.$$

   Comme $displaystylelim_{nto+infty}dfrac{4}{n^{2}}=0$ et $displaystylelim_{nto+infty}dfrac{3}{n}=0$, on obtient $$lim_{nto+infty}left(5+dfrac{4}{n^{2}}right)=5,qquad lim_{nto+infty}left(4+dfrac{3}{n}right)=4,$$ donc $$lim_{nto+infty}dfrac{5n^{2}+4}{4n^{2}+3n}=dfrac{5}{4}.$$

4. On étudie $$lim_{nto+infty}left(1+left(-dfrac12right)^{n}right).$$

   La suite $left((-1/2)^{n}right)$ est géométrique de raison $-1/2$ avec $| -1/2 |<1$, donc $$lim_{nto+infty}left(-dfrac12right)^{n}=0.$$ Ainsi $$lim_{nto+infty}left(1+left(-dfrac12right)^{n}right)=1.$$

5. On étudie $$lim_{nto+infty}dfrac{5+6left(dfrac23right)^{n}}{1-left(dfrac23right)^{n}}.$$

   La suite $left(left(dfrac23right)^{n}right)$ est géométrique de raison $dfrac23$ avec $0<dfrac23<1$, donc $$lim_{nto+infty}left(dfrac23right)^{n}=0.$$ On en déduit $$lim_{nto+infty}bigl(5+6left(dfrac23right)^{n}bigr)=5,qquad lim_{nto+infty}bigl(1-left(dfrac23right)^{n}bigr)=1,$$ d’où $$lim_{nto+infty}dfrac{5+6left(dfrac23right)^{n}}{1-left(dfrac23right)^{n}}=5.$$

6. On étudie $$lim_{nto+infty}bigl(2^{n}-3^{n}bigr).$$

   On factorise par $3^{n}$ : $$2^{n}-3^{n}=3^{n}left(left(dfrac{2}{3}right)^{n}-1right).$$

   Comme $0<dfrac23<1$, on a $displaystylelim_{nto+infty}left(dfrac{2}{3}right)^{n}=0$, donc $$lim_{nto+infty}left(left(dfrac{2}{3}right)^{n}-1right)=-1.$$ Par ailleurs $3>1$ donc $displaystylelim_{nto+infty}3^{n}=+infty$. Ainsi $$lim_{nto+infty}bigl(2^{n}-3^{n}bigr)=-infty.$$

1. On veut montrer par récurrence que, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_ngeq n$.

   Initialisation : $u_0=0$ donc $u_0geq 0$ est vraie.

   Hérédité : supposons $u_ngeq n$ pour un certain $ninmathbb{N}$. Alors $$u_{n+1}=2u_n+3geq 2n+3.$$ Or $$2n+3-(n+1)=n+2geq 0,$$ donc $2n+3geq n+1$ et par conséquent $u_{n+1}geq n+1$.

   Par récurrence, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_ngeq n$.

2. Comme $u_ngeq n$ pour tout $n$ et $displaystylelim_{nto+infty}n=+infty$, on en déduit $$lim_{nto+infty}u_n=+infty.$$

1. On montre par récurrence que, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_n<3$.

   Initialisation : $u_0=2<3$ donc la propriété est vraie au rang $0$.

   Hérédité : supposons $u_n<3$. Alors $$u_{n+1}=dfrac{1}{3}u_n+2<dfrac{1}{3}times 3+2=3.$$ Donc $u_{n+1}<3$.

   Par récurrence, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_n<3$ et la suite est majorée par $3$.

2. Étudions la différence : $$u_{n+1}-u_n=dfrac{1}{3}u_n+2-u_n=left(dfrac{1}{3}-1right)u_n+2=-dfrac{2}{3}u_n+2=-dfrac{2}{3}bigl(u_n-3bigr).$$

   Or $u_n<3$ donc $u_n-3<0$ et $-dfrac{2}{3}(u_n-3)>0$. Ainsi $u_{n+1}-u_n>0$ et la suite $(u_n)$ est croissante.

   Une suite croissante et majorée est convergente, donc $(u_n)$ converge.

3. La suite est croissante et $u_0=2$, donc pour tout $ninmathbb{N}$, $$u_ngeq u_0=2.$$

4. On pose $v_n=u_n-3$.

   Alors $$v_{n+1}=u_{n+1}-3=dfrac{1}{3}u_n+2-3=dfrac{1}{3}u_n-1=dfrac{1}{3}(u_n-3)=dfrac{1}{3}v_n.$$ La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=dfrac13$ et de premier terme $$v_0=u_0-3=2-3=-1.$$

   On en déduit $$v_n=v_0q^{n}=-left(dfrac13right)^{n}.$$ Donc $$u_n=3+v_n=3-left(dfrac13right)^{n}.$$

   Comme $displaystylelim_{nto+infty}left(dfrac13right)^{n}=0$, on a $$lim_{nto+infty}u_n=3.$$

5. On pose, pour tout $ninmathbb{N}$, $$S_n=v_0+v_1+cdots+v_n.$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=dfrac13$ et de premier terme $v_0=-1$, donc $$S_n=v_0,dfrac{1-q^{,n+1}}{1-q}=-1timesdfrac{1-left(dfrac13right)^{n+1}}{1-dfrac13} =-dfrac{3}{2}left(1-left(dfrac13right)^{n+1}right).$$

   Ainsi $$lim_{nto+infty}S_n=-dfrac{3}{2}.$$

6. Pour tout $ninmathbb{N}$, $$T_n=u_0+u_1+cdots+u_n.$$ Or $u_n=3+v_n$, donc $$T_n=underbrace{3+3+cdots+3}_{n+1text{ termes}}+S_n=3(n+1)+S_n.$$ On obtient $$T_n=3(n+1)-dfrac{3}{2}left(1-left(dfrac13right)^{n+1}right).$$

   Comme $displaystylelim_{nto+infty}3(n+1)=+infty$ et $S_n$ est bornée, on a $$lim_{nto+infty}T_n=+infty.$$

1. On montre par récurrence que $U_n>0$ pour tout $ninmathbb{N}$.

   Initialisation : $U_0=1>0$.

   Hérédité : supposons $U_n>0$. Alors $3U_n>0$ et $21+U_n>0$, donc $$U_{n+1}=dfrac{3U_n}{21+U_n}>0.$$ Par récurrence, $U_n>0$ pour tout $n$.

2. On veut montrer que, pour tout $n$, $$U_{n+1}leqdfrac17U_n.$$

   Méthode 1 (par différence) :

   $$U_{n+1}-dfrac17U_n=dfrac{3U_n}{21+U_n}-dfrac17U_n =dfrac{21cdot 3U_n-(21+U_n)U_n}{7(21+U_n)} =dfrac{21U_n-21U_n-U_n^{2}}{7(21+U_n)} =-dfrac{U_n^{2}}{7(21+U_n)}leq 0.$$ Donc $U_{n+1}leqdfrac17U_n$.

   Méthode 2 (par encadrement) :

   Comme $U_n>0$, on a $21+U_ngeq 21$ puis $$dfrac{1}{21+U_n}leqdfrac{1}{21}quadtext{et donc}quad dfrac{3}{21+U_n}leqdfrac{3}{21}=dfrac17.$$ En multipliant par $U_n>0$ : $$U_{n+1}=dfrac{3U_n}{21+U_n}leqdfrac17U_n.$$

3. Pour tout $n$, $U_n>0$ et $U_{n+1}leqdfrac17U_nleq U_n$, donc $$U_{n+1}leq U_n.$$ La suite $(U_n)$ est décroissante et minorée par $0$ ; elle est donc convergente.

4. On montre maintenant que $0<U_nleqleft(dfrac17right)^{n}$.

   Méthode par récurrence :

   Initialisation : $U_0=1leqleft(dfrac17right)^{0}=1$.

   Hérédité : supposons $U_nleqleft(dfrac17right)^{n}$. Alors, en utilisant $U_{n+1}leqdfrac17U_n$, $$U_{n+1}leqdfrac17U_nleqdfrac17left(dfrac17right)^n=left(dfrac17right)^{n+1}.$$ Donc, pour tout $n$, $0<U_nleqleft(dfrac17right)^{n}$.

   Comme $-1<dfrac17<1$, on a $$lim_{nto+infty}left(dfrac17right)^{n}=0,$$ et, par encadrement entre $0$ et $left(dfrac17right)^{n}$, $$lim_{nto+infty}U_n=0.$$

5. On pose $V_n=sqrt{9-2U_n}$. La fonction $f:xmapstosqrt{9-2x}$ est continue au voisinage de $0$ et $displaystylelim_{nto+infty}U_n=0$, donc $$lim_{nto+infty}V_n=f(0)=sqrt{9}=3.$$

1. On prouve par récurrence que, pour tout $ninmathbb{N}$, $u_n>-2$.

   Initialisation : $u_0=1>-2$.

   Hérédité : supposons $u_n>-2$. Alors $$u_{n+1}+2=1-dfrac{9}{u_n+5}+2=3-dfrac{9}{u_n+5} =dfrac{3(u_n+5)-9}{u_n+5}=dfrac{3u_n+6}{u_n+5} =dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}.$$

   De $u_n>-2$ on déduit $u_n+5>3>0$ et $u_n+2>0$, donc $3(u_n+2)>0$ et $$u_{n+1}+2=dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5}>0.$$ Ainsi $u_{n+1}>-2$. Par récurrence, $u_n>-2$ pour tout $n$.

2. Étudions la différence : $$u_{n+1}-u_n=1-dfrac{9}{u_n+5}-u_n=dfrac{u_n+5-9-u_n(u_n+5)}{u_n+5} =-dfrac{(u_n+2)^{2}}{u_n+5}<0.$$

   Ainsi la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $-2$, donc convergente.

3. On pose $v_n=dfrac{1}{u_n+2}$.

   On calcule $$v_{n+1}-v_n=dfrac{1}{u_{n+1}+2}-dfrac{1}{u_n+2}.$$ Or $$u_{n+1}+2=3-dfrac{9}{u_n+5}=dfrac{3(u_n+2)}{u_n+5},$$ donc $$dfrac{1}{u_{n+1}+2}=dfrac{u_n+5}{3(u_n+2)}.$$ Ainsi $$v_{n+1}-v_n=dfrac{u_n+5}{3(u_n+2)}-dfrac{1}{u_n+2} =dfrac{u_n+5-3}{3(u_n+2)}=dfrac{u_n+2}{3(u_n+2)}=dfrac13.$$ La suite $(v_n)$ est donc arithmétique de raison $r=dfrac13$ et de premier terme $$v_0=dfrac{1}{u_0+2}=dfrac{1}{3}.$$

   Pour tout $n$, $$v_n=v_0+rn=dfrac{1}{3}+dfrac{1}{3}n=dfrac{1+n}{3}.$$ Comme $v_n=dfrac{1}{u_n+2}$, on obtient $$u_n+2=dfrac{3}{1+n}quadtext{puis}quad u_n=dfrac{3}{1+n}-2.$$

   Finalement, $$lim_{nto+infty}u_n=lim_{nto+infty}left(dfrac{3}{1+n}-2right)=-2.$$

1. On montre par récurrence que $2<u_n<4$ pour tout $ninmathbb{N}$.

   Initialisation : $u_0=3$ donc $2<3<4$.

   Hérédité : supposons $2<u_n<4$.

   D’abord, $$u_{n+1}-2=dfrac{8(u_n-1)}{u_n+2}-2=dfrac{8(u_n-1)-2(u_n+2)}{u_n+2} =dfrac{6(u_n-2)}{u_n+2}.$$ De $u_n>2$ on déduit $u_n-2>0$ et $u_n+2>4>0$, donc $u_{n+1}-2>0$ et $u_{n+1}>2$.

   Ensuite, $$u_{n+1}-4=dfrac{8(u_n-1)}{u_n+2}-4=dfrac{4(u_n-4)}{u_n+2}.$$ Or $u_n<4$ donc $u_n-4<0$ et $u_n+2>0$, d’où $u_{n+1}-4<0$ et $u_{n+1}<4$.

   Ainsi $2<u_{n+1}<4$ et, par récurrence, $2<u_n<4$ pour tout $n$.

2. Étudions la différence : $$u_{n+1}-u_n=dfrac{8(u_n-1)}{u_n+2}-u_n =dfrac{8u_n-8-u_n^{2}-2u_n}{u_n+2} =-dfrac{(u_n-4)(u_n-2)}{u_n+2}.$$

   Pour $2<u_n<4$, on a $u_n-4<0$, $u_n-2>0$ et $u_n+2>0$, donc le numérateur est négatif et $$u_{n+1}-u_n>0.$$ La suite $(u_n)$ est donc croissante. Elle est croissante et majorée par $4$, donc convergente.

3. On pose $v_n=dfrac{u_n-4}{u_n-2}$.

   On calcule $$v_{n+1}=dfrac{u_{n+1}-4}{u_{n+1}-2}.$$ On a déjà $$u_{n+1}-4=dfrac{4(u_n-4)}{u_n+2},qquad u_{n+1}-2=dfrac{6(u_n-2)}{u_n+2}.$$ Donc $$v_{n+1}=dfrac{dfrac{4(u_n-4)}{u_n+2}}{dfrac{6(u_n-2)}{u_n+2}} =dfrac{4}{6}cdotdfrac{u_n-4}{u_n-2}=dfrac{2}{3}v_n.$$ La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=dfrac{2}{3}$ et de premier terme $$v_0=dfrac{u_0-4}{u_0-2}=dfrac{3-4}{3-2}=-1.$$ Ainsi $$v_n=-left(dfrac{2}{3}right)^{n}.$$

   On exprime alors $u_n$ en fonction de $v_n$ : $$v_n=dfrac{u_n-4}{u_n-2}quadLongrightarrowquad v_n(u_n-2)=u_n-4,$$ $$u_nv_n-2v_n=u_n-4quadLongrightarrowquad u_n(v_n-1)=2v_n-4,$$ $$u_n=dfrac{2v_n-4}{v_n-1}.$$ En remplaçant $v_n$ : $$u_n=dfrac{2left(-left(dfrac{2}{3}right)^{n}right)-4}{-left(dfrac{2}{3}right)^{n}-1}.$$

   Comme $displaystylelim_{nto+infty}left(dfrac{2}{3}right)^{n}=0$, on obtient $$lim_{nto+infty}u_n=dfrac{0-4}{0-1}=4.$$

4. a) On veut montrer que, pour tout $n$, $$4-u_{n+1}leqdfrac{4}{5}(4-u_n).$$

   On calcule : $$4-u_{n+1}-dfrac{4}{5}(4-u_n) =dfrac{4(u_n-4)}{u_n+2}-dfrac{4}{5}(4-u_n)$$ $$=4(4-u_n)left(dfrac{1}{u_n+2}-dfrac{1}{5}right) =dfrac{4(4-u_n)(3-u_n)}{5(u_n+2)}leq 0,$$ car $u_ngeq 3$ (suite croissante à partir de $u_0=3$), donc $3-u_nleq 0$, $4-u_n>0$ et $u_n+2>0$. On a donc bien $$4-u_{n+1}leqdfrac{4}{5}(4-u_n).$$

   b) Par récurrence, on en déduit que, pour tout $n$, $$4-u_nleqleft(dfrac{4}{5}right)^{n}.$$

   c) Comme $0<4-u_nleqleft(dfrac{4}{5}right)^{n}$ et que $displaystylelim_{nto+infty}left(dfrac{4}{5}right)^{n}=0$, le théorème d’encadrement donne $$lim_{nto+infty}bigl(4-u_nbigr)=0quadLongrightarrowquad lim_{nto+infty}u_n=4.$$

On considère la fonction $f$ définie sur $mathbb{R}^{+}$ par $$f(x)=dfrac{x}{sqrt{1+x^{2}}}.$$

1. a) Pour $xgeq 0$, $$f(x)-x=dfrac{x}{sqrt{1+x^{2}}}-x =dfrac{x-xsqrt{1+x^{2}}}{sqrt{1+x^{2}}} =dfrac{x^{2}-x^{2}(1+x^{2})}{(x+xsqrt{1+x^{2}})sqrt{1+x^{2}}} =-dfrac{x^{4}}{(x+xsqrt{1+x^{2}})sqrt{1+x^{2}}}leq 0.$$ Ainsi $f(x)leq x$ pour tout $xinmathbb{R}^{+}$.

   b) On dérive : $$f'(x)=dfrac{sqrt{1+x^{2}}-xdfrac{2x}{2sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}} =dfrac{sqrt{1+x^{2}}-dfrac{x^{2}}{sqrt{1+x^{2}}}}{1+x^{2}} =dfrac{1}{(1+x^{2})sqrt{1+x^{2}}}>0.$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $mathbb{R}^{+}$.

2. On considère la suite $(u_n)$ définie par $$u_0=dfrac12,qquad u_{n+1}=f(u_n).$$

   a) On montre par récurrence que $0leq u_nleq 1$ pour tout $n$.

   Initialisation : $0leq u_0=dfrac12leq 1$.

   Hérédité : supposons $0leq u_nleq 1$. Sur $[0,1]$, $f$ est croissante et $f(0)=0$, $f(1)=dfrac{1}{sqrt{2}}<1$. Donc $$0leq u_nleq 1quadLongrightarrowquad 0=f(0)leq f(u_n)=u_{n+1}leq f(1)<1.$$ Par récurrence, $0leq u_nleq 1$ pour tout $n$.

   b) Sur $mathbb{R}^{+}$, on a montré que $f(x)leq x$, et $u_nin[0,1]$, donc $$u_{n+1}=f(u_n)leq u_n.$$ La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par $0$, donc convergente.

   c) Soit $ell$ la limite de $(u_n)$. Par passage à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$, on obtient $$ell=f(ell).$$ D’après l’expression de $f(x)-x$, l’égalité $f(x)=x$ équivaut à $x=0$, donc $ell=0$. Finalement, $$lim_{nto+infty}u_n=0.$$

1. On prouve par récurrence que $1leq u_nleq 3$ pour tout $ninmathbb{N}$.

   Initialisation : $u_0=1$ donc $1leq 1leq 3$.

   Hérédité : supposons $1leq u_nleq 3$ et posons $f(x)=sqrt{2x+3}$ sur $[1,3]$.

   La fonction $f$ est dérivable sur $[1,3]$ avec $$f'(x)=dfrac{2}{2sqrt{2x+3}}=dfrac{1}{sqrt{2x+3}}>0,$$ donc $f$ est strictement croissante sur $[1,3]$.

   De $1leq u_nleq 3$ et de la croissance de $f$, $$f(1)leq f(u_n)leq f(3)quadLongrightarrowquad sqrt{5}leq u_{n+1}leq 3.$$ Or $1<sqrt{5}$, donc $1leq u_{n+1}leq 3$. Par récurrence, $1leq u_nleq 3$ pour tout $n$.

2. Étudions la différence : $$u_{n+1}-u_n=sqrt{2u_n+3}-u_n.$$ On multiplie par le conjugué : $$u_{n+1}-u_n=dfrac{(2u_n+3)-u_n^{2}}{sqrt{2u_n+3}+u_n} =dfrac{-u_n^{2}+2u_n-3}{sqrt{2u_n+3}+u_n} =-dfrac{(u_n-1)(u_n-3)}{sqrt{2u_n+3}+u_n}.$$

   Pour $1leq u_nleq 3$, on a $u_n-1geq 0$, $u_n-3leq 0$ et $sqrt{2u_n+3}+u_n>0$, donc le quotient est positif : $$u_{n+1}-u_ngeq 0.$$ La suite $(u_n)$ est donc croissante.

3. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $3$, donc convergente. Soit $ell$ sa limite. En passant à la limite dans $$u_{n+1}=sqrt{2u_n+3},$$ on obtient $$ell=sqrt{2ell+3}.$$ Ainsi $$ell^{2}=2ell+3quadLongrightarrowquad ell^{2}-2ell-3=0,$$ d’où $$ell=1quadtext{ou}quad ell=3.$$

   Comme $(u_n)$ est croissante et $u_0=1$, ses termes sont dans $[1,3]$ et strictement supérieurs à $1$ à partir d’un certain rang ; la limite ne peut être que $3$ : $$lim_{nto+infty}u_n=3.$$