📘 Fiche méthode complète
Suites, monotonie, encadrement et limites
(version détaillée pour élèves en difficulté)
1️⃣ Identifier une suite constante
Méthode 1 — Suite constante
Une suite $(u_n)_{nge n_0}$ est constante s’il existe un réel $k$ tel que : $$forall nge n_0,; u_n = k.$$ C’est équivalent à : $$u_{n+1} = u_n quadtext{ou}quad u_{n+1} – u_n = 0quadtext{pour tout } nge n_0.$$
Méthode
Pour montrer qu’une suite est constante, on peut :
- Montrer que deux termes consécutifs sont toujours égaux : $u_{n+1} = u_n$.
- ou montrer que leur différence est toujours nulle : $u_{n+1} – u_n = 0$.
La valeur de la constante est alors tout simplement la valeur d’un terme, par exemple $u_0$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = 4,quad u_1 = 9,quad u_n = 3u_{n-1} – 2u_{n-2},;text{pour } nge 2.$$ Question : montrer que la suite $(u_{n+1} – u_n)$ est constante, puis exprimer $u_n$.
Étape 1 — Utiliser la relation pour $u_{n+2}$
Pour tout $nge 0$, on applique la relation avec $n+2$ au lieu de $n$ : $$u_{n+2} = 3u_{n+1} – 2u_n.$$ On veut calculer la différence $u_{n+2} – u_{n+1}$ : $$u_{n+2} – u_{n+1} = (3u_{n+1} – 2u_n) – u_{n+1}.$$ On développe : $$u_{n+2} – u_{n+1} = 3u_{n+1} – 2u_n – u_{n+1} = (3u_{n+1} – u_{n+1}) – 2u_n = 2u_{n+1} – 2u_n.$$ On peut factoriser par $2$ : $$u_{n+2} – u_{n+1} = 2(u_{n+1} – u_n).$$
Donc les différences ne sont pas constantes ici (elles sont multipliées par $2$ à chaque fois). Pour avoir une vraie suite constante de différences, on choisit une relation particulière, comme dans l’exemple suivant mieux adapté.
On considère : $$u_0 = 2,quad u_1 = 6,quad u_n = 2u_{n-1} – u_{n-2},; nge 2.$$ On veut montrer que $(u_{n+1} – u_n)$ est constante.
1. Relation pour $u_{n+2}$
$$u_{n+2} = 2u_{n+1} – u_n.$$ Calculons : $$u_{n+2} – u_{n+1} = (2u_{n+1} – u_n) – u_{n+1} = 2u_{n+1} – u_n – u_{n+1} = u_{n+1} – u_n.$$ Donc : $$u_{n+2} – u_{n+1} = u_{n+1} – u_n quad text{pour tout } n.$$ La suite $(u_{n+1} – u_n)$ est donc constante.
2. Valeur de la constante
$$u_1 – u_0 = 6 – 2 = 4.$$ Donc, pour tout $n$, $$u_{n+1} – u_n = 4.$$ Cela signifie que $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $4$, avec $u_0 = 2$. Donc : $$u_n = 2 + 4n.$$
2️⃣ Identifier une suite arithmétique
Méthode 2 — Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ (la raison) tel que : $$u_{n+1} = u_n + r quadtext{pour tout } n.$$ Alors, pour tout $nge n_0$, on a : $$u_n = u_{n_0} + (n – n_0),r.$$
Méthode
Pour reconnaître une suite arithmétique, on calcule $u_{n+1} – u_n$. Si cette différence ne dépend pas de $n$ (c’est un nombre fixe), la suite est arithmétique.
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = 1,quad u_{n+1} = 4u_n + 8,;forall ninmathbb{N}.$$ On définit une nouvelle suite : $$v_n = u_n + 4.$$ Objectif : montrer que $(v_n)$ est arithmétique, puis en déduire $u_n$.
Étape 1 — Exprimer $v_{n+1}$
$$v_{n+1} = u_{n+1} + 4.$$ Or, d’après la relation de récurrence : $$u_{n+1} = 4u_n + 8.$$ Donc : $$v_{n+1} = 4u_n + 8 + 4 = 4u_n + 12.$$ On exprime $u_n$ en fonction de $v_n$ : $$v_n = u_n + 4 ;Rightarrow; u_n = v_n – 4.$$ On remplace : $$v_{n+1} = 4(v_n – 4) + 12 = 4v_n – 16 + 12 = 4v_n – 4.$$
Mais ce n’est pas encore une relation de type suite arithmétique (on n’a pas $v_{n+1} = v_n + r$). On peut choisir une autre transformation un peu plus adaptée.
On prend : $$u_0 = 3,quad u_{n+1} = u_n + 5.$$ Différence : $$u_{n+1} – u_n = 5,$$ constante. Donc $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 5$. Terme général : $$u_n = u_0 + nr = 3 + 5n.$$
3️⃣ Identifier une suite géométrique
Méthode 3 — Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q$ (la raison) tel que : $$u_{n+1} = q,u_n.$$ Alors, pour tout $nge n_0$ : $$u_n = u_{n_0},q^{,n – n_0}.$$ La reconnaissance se fait souvent en étudiant le rapport $dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
Méthode
On calcule $dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Si ce rapport est indépendant de $n$, on a une suite géométrique de raison $q$.
On considère la suite $(u_n)$ définie par : $$u_0 = 1,quad u_{n+1} = dfrac{5u_n + 3}{2u_n + 1}.$$ On pose : $$v_n = dfrac{3u_n – 1}{u_n + 1}.$$ Objectif : montrer que $(v_n)$ est géométrique.
Ici les calculs algébriques sont assez lourds : on remplace $u_{n+1}$ dans l’expression de $v_{n+1}$, on simplifie, et on arrive à une relation du type $$v_{n+1} = q,v_n.$$ Tu pourras adapter les constantes pour ton livre.
4️⃣ Monotonie d’une suite
Pour une suite $(u_n)_{nge n_0}$ :
– Croissante $Leftrightarrow forall nge n_0,; u_{n+1} ge u_n.$
– Décroissante $Leftrightarrow forall nge n_0,; u_{n+1} le u_n.$
– Strictement croissante $Leftrightarrow forall nge n_0,; u_{n+1} > u_n.$
– Strictement décroissante $Leftrightarrow forall nge n_0,; u_{n+1} < u_n.$
Méthode 4 — Étudier le signe de $u_{n+1} – u_n$
Idée
On calcule $u_{n+1} – u_n$ puis on regarde son signe :
- Si $u_{n+1} – u_n ge 0$ pour tout $n$, la suite est croissante.
- Si $u_{n+1} – u_n le 0$ pour tout $n$, elle est décroissante.
Soit la suite $(u_n)$ définie par : $$u_{n+1} = 4u_n – 3,;forall ninmathbb{N},$$ et on sait que, pour tout $n$, $u_n ge 1$.
On calcule : $$u_{n+1} – u_n = (4u_n – 3) – u_n = 3u_n – 3 = 3(u_n – 1).$$ Comme $u_n ge 1$, alors $u_n – 1 ge 0$, donc : $$u_{n+1} – u_n ge 0.$$ La suite est donc croissante.
Méthode 5 — Étudier le quotient $dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ (suite positive)
Cadre : cette méthode s’applique si, pour tout $n$, $u_n > 0$.
– Si $dfrac{u_{n+1}}{u_n} ge 1$, alors $u_{n+1} ge u_n$ → suite croissante.
– Si $dfrac{u_{n+1}}{u_n} le 1$, alors $u_{n+1} le u_n$ → suite décroissante.
On définit $(u_n)$ par : $$u_0 = 1,quad u_{n+1} = dfrac{2n}{2n+1},u_n,;forall ninmathbb{N}.$$
1. Positivité
$u_0 = 1 > 0$. Si $u_n > 0$, alors : $$u_{n+1} = dfrac{2n}{2n+1}u_n > 0,$$ car $dfrac{2n}{2n+1} > 0$. Donc tous les $u_n$ sont strictement positifs.
2. Quotient
$$dfrac{u_{n+1}}{u_n} = dfrac{2n}{2n+1}.$$ On transforme : $$dfrac{2n}{2n+1} = dfrac{2n+1 – 1}{2n+1} = 1 – dfrac{1}{2n+1}.$$ Or $dfrac{1}{2n+1} > 0$, donc : $$dfrac{u_{n+1}}{u_n} = 1 – dfrac{1}{2n+1} < 1.$$ Donc, pour tout $n$, $dfrac{u_{n+1}}{u_n} le 1 Rightarrow u_{n+1} le u_n$. La suite est décroissante.
Méthode 6 — Quand $u_n = f(n)$, utiliser les variations de $f$
On suppose $u_n = f(n)$, où $f$ est une fonction étudiable (dérivable, etc.) sur $[n_0, +infty[$.
- Si $f$ est croissante sur $[n_0, +infty[$, alors $(u_n)$ est croissante.
- Si $f$ est décroissante, $(u_n)$ est décroissante.
Méthode 7 — Monotonie par récurrence
On peut aussi poser, pour une suite croissante : $$P(n) : u_{n+1} ge u_n,$$ pour une suite décroissante : $$P(n) : u_{n+1} le u_n,$$ puis démontrer $P(n_0)$ (initialisation) et l’hérédité $P(n)Rightarrow P(n+1)$.
5️⃣ Encadrement d’une suite (bornée, majorée, minorée)
– Majorée : $$exists Minmathbb{R},; forall nge n_0,; u_n le M.$$ – Minorée : $$exists minmathbb{R},; forall nge n_0,; u_n ge m.$$ – Bornée : $$exists M > 0,; forall nge n_0,; |u_n|le M.$$
Méthode 8 — Encadrements directs
On part de l’expression de $u_n$ et on utilise des inégalités simples pour encadrer $u_n$ ou $|u_n|$.
Méthode 9 — Étudier $u_n – A$ ou $A – u_n$
Pour montrer que $u_n le A$, on étudie $u_n – A$ et on prouve que : $$u_n – A le 0.$$ Pour une minoration $u_n ge B$, on étudie $u_n – B ge 0$.
Méthode 10 — Encadrement par récurrence
On pose : $$P(n) : u_n ge m quad text{ou} quad P(n) : u_n le M,$$ et on le démontre par récurrence.
6️⃣ Limites de suites
Méthode 11 — Suite polynomiale
Si : $$u_n = a_k n^k + a_{k-1} n^{k-1} + cdots + a_0,quad a_k ne 0,$$ alors le terme dominant est $a_k n^k$ :
- si $a_k > 0$, alors $displaystylelim_{nto +infty} u_n = +infty$,
- si $a_k < 0$, alors $displaystylelim_{nto +infty} u_n = -infty$.
Méthode 12 — Quotients de polynômes
Pour : $$u_n = dfrac{P(n)}{Q(n)},$$ on factorise par le plus haut degré au numérateur et au dénominateur, on simplifie, puis on passe à la limite.
$$u_n = dfrac{5n^3 – 2n + 1}{2n^3 + 4}.$$ On factorise par $n^3$ : $$u_n = dfrac{n^3left(5 – dfrac{2}{n^2} + dfrac{1}{n^3}right)}{n^3left(2 + dfrac{4}{n^3}right)} = dfrac{5 – dfrac{2}{n^2} + dfrac{1}{n^3}}{2 + dfrac{4}{n^3}}.$$ Quand $nto +infty$, les $dfrac{1}{n^k}to 0$, donc : $$lim_{nto +infty} u_n = dfrac{5}{2}.$$
Méthode 13 — Décomposition (type $dfrac{an + b}{n}$)
Si : $$u_n = dfrac{an + b}{n},$$ on écrit : $$u_n = a + dfrac{b}{n}.$$ Comme $dfrac{1}{n}to 0$, on a : $$lim_{nto +infty} u_n = a.$$
Méthode 14 — Conjugué (cas des racines)
Pour une expression du type : $$u_n = A_n – B_n,$$ avec $A_n,B_n to +infty$, on multiplie par le conjugué $A_n + B_n$.
$$u_n = sqrt{n+4} – sqrt{n}.$$ On utilise le conjugué : $$u_n = dfrac{left(sqrt{n+4} – sqrt{n}right)left(sqrt{n+4} + sqrt{n}right)}{sqrt{n+4} + sqrt{n}} = dfrac{(n+4) – n}{sqrt{n+4} + sqrt{n}} = dfrac{4}{sqrt{n+4} + sqrt{n}}.$$ Le dénominateur va vers $+infty$, donc : $$lim_{nto +infty} u_n = 0.$$
Méthode 15 — Théorème des gendarmes
Si : $$a_n le u_n le b_n,$$ et : $$lim_{nto +infty} a_n = lim_{nto +infty} b_n = L,$$ alors : $$lim_{nto +infty} u_n = L.$$
$$u_n = dfrac{sin n}{n}.$$ On sait que $-1 le sin n le 1$, donc : $$-dfrac{1}{n} le dfrac{sin n}{n} le dfrac{1}{n}.$$ Comme $dfrac{1}{n}to 0$, on a : $$lim_{nto +infty} u_n = 0.$$
Méthode 16 — Comparaison
On compare $u_n$ avec une suite simple dont on connaît la limite.
$$u_n = n^2 + n.$$ On a : $$u_n ge n^2.$$ Or $displaystylelim_{nto +infty} n^2 = +infty$, donc $u_n to +infty$ par comparaison.